Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a).
La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.
El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.
Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.
Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto.
A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c
> 2a (por tanto c > a) y se puede considerar que
Este valor se llama semieje imaginario de la hipérbola.
Hipérbola.
Al
igual que en la elipse, se considerarán en primer lugar las hipérbolas centradas
en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas.
Cálculo de los radios vectores de un punto
En un punto P(x, y) de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F'(-c, 0) los radios vectores son
Demostración:
Los radios vectores son:
Eliminando los términos comunes:
2cx = 4a2 - 2cx + 4a·PF
Despejando:
4a ·PF = 2cx - 4a2 + 2cx = 4cx - 4a2, luego
PF' =PF + 2a = ex - a + 2a = ex + a
Nótese que se ha utilizado que la distancia ' es mayor que, lo cual sólo es cierto en el semiplano de la derecha. Si se hubiese tomado un punto del semiplano de la izquierda y se hubiese operado, el resultado hubiera sido similar, pero cambiando los signos. Es por eso que en el enunciado se tomó valor absoluto en los segundos miembros.
Ecuación canónica de la hipérbola
La ecuación de una hipérbola con focos en los
puntos F(c, 0) y F''(-c, 0) es
Demostración:
Se toma la expresión de uno de los radios vectores y se opera en ella:
Sacando factor común (c2 - a2),
(c2 - a2) x2 + a2 (a2 - c2) - a2y2 = 0
Pero c2 - a2 = b2, luego
b2x2
- a2b2 - a2y2 = 0. Dividiendo entre a2
· b2, se obtiene:
En el caso en que la hipérbola tuviese el eje
vertical, la ecuación sería
Vértices de una hipérbola
Los vértices de una hipérbola son los puntos donde ésta corta a sus ejes.
ejes de coordenadas, cuyas ecuaciones respectivas son y = 0 y x = 0.
· Eje real
Su ecuación es y = 0.
Sustituyendo en la hipérbola:
Los vértices son (a, 0) y (-a, 0)
· Eje imaginario
La ecuación del eje es x = 0.
Al sustituir queda:
Esta ecuación no tiene solución, ya que el primer miembro es siempre negativo y el segundo es
positivo.
puntos
(a, 0) y (-a, 0).
Asíntotas de una hipérbola
Si en la ecuación de la hipérbola se despeja y, resulta
Al hacer x suficientemente grande, el denominador aumenta indefinidamente, mientras que el numerador permanece invariable. Así la diferencia se hace tan pequeña como se quiera al crecer x.
Estas rectas se llaman asíntotas de la hipérbola